La mosca de Descartes y la geometría analítica
Se dice que el filósofo y matemático René Descartes (1596-1650) se encontraba cierto día descansando distraídamente en la cama mientras realizaba su actividad favorita, que era la de pensar, y mientras lo hacía le fue dado observar vuelo de una mosca por la habitación. Repentinamente se dio cuenta de que la posición de la mosca en cualquier momento se podía representar con tres números, que indicarían las distancias a cada una de las paredes y al suelo de la habitación. Resulta curioso pensar (se non è vero, è ben trovato) que así fue como comenzó lo que llegó a ser una de las grandes ideas matemáticas de todos los tiempos.
Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertas líneas y figuras geométricas aplicando técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Lo novedoso de la geometría analítica es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x, y) = 0, donde f representa una función u otro tipo de expresión matemática. La idea que llevó a la geometría analítica fue: a cada punto en un plano le corresponde un par ordenado de números y a cada par ordenado de números le corresponde un punto en un plano.
Fue inventada por René Descartes y por Pierre de Fermat (1601-1665), a principios del siglo XVII, y como vimos, relaciona la matemática y el álgebra con la geometría por medio de las correspondencias anteriores.
Además, Descartes y Fermat observaron, y esto es crucial, que las ecuaciones algebraicas corresponden con figuras geométricas. Eso significa que las líneas y ciertas figuras geométricas se pueden expresar como ecuaciones y, a su vez, las ecuaciones pueden graficarse como líneas o figuras geométricas.
En particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones polinómicas de primer grado y las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de segundo grado.
Por lo expresado anteriormente, podemos aventurar una definición más sencilla para la geometría analítica: Rama de la geometría en que las líneas rectas, las curvas y las figuras geométricas se representan mediante expresiones algebraicas y numéricas usando un conjunto de ejes y coordenadas.
Y este conjunto de ejes y coordenadas es lo que supuestamente creó Descartes aquél día de la mosca.
Por cierto, unos dos siglos depués Joseph- Louis de Lagrange (1736-1813), el gran matemático turino-pruso-francés (vivió 30 años en Turin, 21 años en Berlin y 26 años en Paris) escribía: “Mientras el álgebra y la geometría estuvieron separados, el progreso de ambos fue lento y sus usos limitados; pero desde que esas dos ciencias vienen estando juntas, se vienen prestando fuerzas mutuamente y han caminado de la mano a buen paso hacia la perfección. A Descartes es a quien debemos la aplicación del álgebra a la geometría, aplicación que ha devenido clave de los mayores descubrimientos en todas las ramas de la Matemática.” (1795)
Anécdota: se dice que el uso de las letras x, y, z para representar incógnitas y las primeras del abecedario para valores conocidos, aparece en el libro «La Géométrie”, que fue publicado en 1637 como un apéndice de su “Discours de la méthode” (Discurso del Método). Se cuenta que cuando el libro se estaba imprimiendo y debido a la gran cantidad de ecuaciones que tenía, los impresores se quedaban sin letras. El editor le preguntó a Descartes si podía emplear otras letras para las ecuaciones. Descartes le respondió que era indiferente las letras que utilizase en las ecuaciones. El editor eligió la x porque en francés esa letra se utiliza poco.
Biografía del sabio
También conocido en su época por su nombre latino Renatus Cartesius, René Descartes nació el 31 de marzo de 1596 en La Haye en Touraine. Era el tercero de los descendientes del matrimonio entre Joachim Descartes, parlamentario de Rennes, y Jeanne Brochard, quien en el momento del parto de René había abandonado la ciudad de Rennes por haberse declarado en ella una epidemia de peste.
Su madre muere el 13 de mayo de 1597, trece meses después del nacimiento de René y pocos días después del nacimiento de un niño que no sobrevive. Esa temprana muerte hará que el joven René sea criado por abuela, su padre y su nodriza.
De niño se pasaba el día planteando preguntas a su padre, por lo que éste comenzó a llamarle su «pequeño filósofo».
Con once años entró en el Collège Henri IV de La Flèche, un centro de enseñanza jesuita donde aprendió física, filosofía escolástica (Aristóteles era entonces el autor de referencia), matemáticas tanto puras como aplicadas (astronomía, música, arquitectura), por las que mostró un notable interés, y otras disciplinas.
A los 18 años de edad, el joven ingresó en la Universidad de Poitiers para estudiar derecho y medicina, y para 1616 ya tenía los grados de bachiller y de licenciado en Derecho.
Entonces le dio por llevar una vida solitaria, dedicada a la reflexión y el estudio y tomó como uno de sus lemas la frase ovidiana —Ovidio (43 adC – 17 ddC) — la cita en su Tristia) bene vixit, qui bene latuit, que se traduciría algo así como “ha vivido bien quien ha sabido estar bien escondido”, o “en esta vida, lo más inteligente es pasar inadvertido, estar en segundo plano”, todo lo cual no es sino la traslación en pocas palabras latinas del láthe biôsas (vive escondido) de Epicuro (341 – 270).
Pero a partir de 1618, se aleja de esa tranquilidad y le vemos de soldado recorriendo Europa y queriendo tener experiencias vivenciales, si bien desdeñaba la vida militar, considerándola «indolente y disipada».
1618 es la fecha en la que estalla la pavorosa Guerra de los Treinta Años, que prenderá fuego a toda Europa Central, sumirá a todo el continente en una de las más profundas crisis de su historia y concluirá en 1648 con la Paz de Westfalia, firmada en el ayuntamiento de la ciudad de Münster.
[Imagen: Retrato de René Descartes (óleo sobre lienzo), Escuela francesa, (Siglo XVII) / Musée des Augustins, Toulouse, Francia.]